قاعدة ليبنز فى التفاضل

Generalized Leibniz Rule

ليبنز عالم ألماني يعزي اليه والى نيوتن علم التفاضل والتكامل. البعض يطلق عليه أسم " لايبنتز" أو " ليبنتز " والصحيح هو لايبنز أو ليبنز. في كتب قديمه يكتب اسم ليبنز هكذا Leibntiz أما حاليا فيكتب Leibniz .
يدخل في قاعدة ليبنز المعممة ما يسمى التوافيق المعممة وتعرف بالصيغة التالية حيث $قاعدة ليبنز فى التفاضل Ec5f8fc8a8f3ea6c1498e6bb5513e5a4$ أعداد صحيحة غير سالبة مجموعها n :

$قاعدة ليبنز فى التفاضل 215fe950655c73991fe5c699ce8081df$

الحالة الخاصة $قاعدة ليبنز فى التفاضل 2d4dcf10084570378af72846cd24eee5$ سنحتاجها أثناء إثبات قاعدة ليبنز المعممة وهي تعطينا التوافيق المألوفة حيث:

$قاعدة ليبنز فى التفاضل 1fdb19724e24e5a03ecdd9efdbb7e1ca$

قاعدة ليبنز المعممة:
إذا كانت $قاعدة ليبنز فى التفاضل 7596f30284f0508a5abf620fbbbf4f77$ دوال^[م] حقيقية ولها مشتقة نونية عند x فإن

$قاعدة ليبنز فى التفاضل 6f0582fc57dd4a0ae3d53888a9b97058$

في هذه القاعدة وكما هو معلوم دائما , الحالة التي فيها $قاعدة ليبنز فى التفاضل Cff4fb6e3ad82c56b957ca435d25f51a$ لبعض i يقصد بها الدالة الأصلية , أي أن $قاعدة ليبنز فى التفاضل 976b983a61b77354512a1676165a8aec$ . في الطرف الأيمن من القاعدة فضلنا التعبير $قاعدة ليبنز فى التفاضل F26734b77bae6aae0caca87312844a0b$ بدلا من رمز ليبنز $قاعدة ليبنز فى التفاضل A744e937b5d5f417f30d5462635d2627$ من أجل ابراز التناظر بين رتب المشتقات والتباديل الداخلة في القانون. أيضا لم نستخدم $قاعدة ليبنز فى التفاضل A122122d0f892544de91557d82c469d8$ للدلالة على حاصل الضرب , لكن في الإثبات سنحتاج لهذا التعبير المختصر .

الاثبات :
يتم بمبدأ الاستقراء الرياضي^[م] العام . حيث سيكون النقاش عند مشتقة نونية معينة. أي أن الاستقراء سيكون على عدد الدوال k وليس على رتبة المشتقة n .
1) خطوة الأساس^[م]: القانون صحيح عندما $قاعدة ليبنز فى التفاضل 5c6f937eacd3732196734c56ec527fa4$ حيث

$قاعدة ليبنز فى التفاضل 7da150f097bad19043e0a5ff10fe57f6$

2) خطوة الفرض : نفرض أن القاعدة صحيحة عند كل عدد $قاعدة ليبنز فى التفاضل 2d43d6c209f004e058f5a74a459ff4f0$ من الدوال . أي أن

$قاعدة ليبنز فى التفاضل Dde677bf3ce005264826f4f8d5a89c9c$

3) خطوة الاستنتاج :

$قاعدة ليبنز فى التفاضل E33d28bf1b3b252f54577dc65031af43$

حيث $قاعدة ليبنز فى التفاضل 789299cba7a0c4169c0d6d5e4efad626$ . الآن ننجز الطرف الأيمن على اعتبار أن لدينا ضرب لدالتين فقط ونطبق عليهما خطوة الفرض. إذا

$قاعدة ليبنز فى التفاضل F48e1894bd4c28f8687ae3585975e5a4$

كل اشتقاق للدالة g في هذا المجموع رتبته اقل من $قاعدة ليبنز فى التفاضل B8f38a652dec37ba81ec346b0b9f474c$ وبالتالي نستطيع التعبير عنه بصيغة خطوة الفرض.

إذا القاعدة صحيحة لكل عدد طبيعي k . بما أن n كانت اختيارية فإن القانون صحيح لأي مشتقة نونية ولأي عدد منتهي من الدوال.

قاعدة ليبنز في المشتقات العليا:
كحالة خاصة من القاعدة المعممة لليبنز نستنتج الآن قاعدة ليبنز للمشتقة العليا لحاصل ضرب دالتين. ضع $قاعدة ليبنز فى التفاضل 5eab73ea0dba6f04906599a767a3bae5$ إذا من قاعدة ليبنز المعممة:

$قاعدة ليبنز فى التفاضل E2a5dca5abbdfcfcdcb89edea9dfda43$

مسائل

1. بين أن $قاعدة ليبنز فى التفاضل Dfc8aedb17e38e2758316651aa419e0d$

2. بصورة أعم إذا كانت $قاعدة ليبنز فى التفاضل 7596f30284f0508a5abf620fbbbf4f77$ قابلة للاشتقاق على الفترة I فأثبت أن :

$قاعدة ليبنز فى التفاضل 9198b4b075a250a6f16eee3e92fc66b0$

» قاعدة ارشميدس
» كورسات التفاضل الجزء الاول حصريا !!!!!!